1960 yılında Elazığ’da dünyaya gelen Şuay Alpay, 1985 yılında İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesi’nden mezun olmuştur. 1986-1988 yılları arasında Van Hakimliği görevini yürüttükten sonra, 1991 yılına kadar Ceza ve Hukuk Mahkemelerinde çeşitli görevlerde bulunmuştur. 1992 yılından itibaren serbest avukat olarak çalışmaya başlamış ve sivil toplum kuruluşlarında kurucu ve yönetici roller üstlenmiştir.
24. ve 25. dönemlerde Elazığ Milletvekili olarak görev yapan Alpay, milletvekilliği süresince Anayasa Komisyonu ve Adalet Komisyonu üyeliklerinin yanı sıra, Türkiye-Kamerun Dostluk Grubu Başkanlığı, Türkiye-Azerbaycan Dostluk Grubu Başkan Vekilliği, Yasadışı Dinlemeleri Araştırma Hukuk Alt Komisyonu Başkanlığı gibi önemli görevlerde bulunmuştur. Ayrıca AK Parti Merkez Karar ve Yönetim Kurulu (MKYK) üyeliği yapmış ve aynı dönemde Yerel Yönetimler Başkan Yardımcılığı görevini üstlenmiştir.
30 Aralık 2015 tarihinde alınan 2015/684 sayılı karar ile Milli Savunma Bakan Yardımcısı olarak atanan Şuay Alpay, bu görevine halen devam etmektedir.
2020-2024 yılları arasında Türk Havacılık Uzay Sanayii A.Ş’de Yönetim Kurulu Üyeliği görevinde bulunan Alpay, 11 Haziran 2024 itibarı ile TUSAŞ – Türk Havacılık Uzay Sanayii A.Ş. Yönetim Kurulu Başkan Vekili olarak görevini sürdürmektedir.
Şuay Alpay, evli ve üç çocuk babasıdır.
